兰州文理学院“数学与应用数学”专业专升本
专业课考试大纲
一、性质
全面考核普通高校专科（含高职）应届毕业生数学专业核心课程是否达到教学大纲所规定的目标。数学专业设置的核心课程主要有：数学分析、高等代数、解析几何、概率统计、常微分方程。甘肃省普通高等学校专升本招生数学与应用数学专业的考试，侧重考核《数学分析》、《高等代数》两门课程的学习是否达到了教学大纲所规定的目标。
二、考试范围
主要涵盖专科教学大纲所规定的《数学分析》、《高等代数》的内容，并参照本科数学与应用数学专业一年级和二年级的教学内容。重点考核学生对这两门课程知识的掌握情况及其应用能力。考试不追求偏题怪题，以基础知识为出题的核心内容。
三、考试参考书目
1．华东师范大学数学系.《数学分析》第3版，高等教育出版社，2001年6月。
2．张禾瑞，郝柄新.《高等代数》（第5版），高等教育出版社，2007年6月。
四、命题形式及试题难易度
考试题型包括单项选择题、多项选择题、判断题、简答题、论述题五种。试题难易度分布较容易题约占30%、中等难度题约占60%、较难题约占10%。
五、说明
试卷满分为200分，两门课程所占分值各为100分。考试时间为180分钟。
（数学分析部分）
一、考试目的
全面考核普通高校专科（含高职）应届毕业生数学分析课程是否达到教学大纲所规定的目标。
二、考试范围
主要涵盖专科数学分析课程教学大纲所规定的全部内容。重点考核学生的数学分析基础知识及其应用能力，考试不追求偏题怪题，以基础知识为出题的核心内容。为保证试卷的信度，对于主观性选择填空题，以基础概念之间的关系、推理、计算为主，力求覆盖基础知识。其余试题均为计算、讨论和证明。
三、考试内容
考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限与连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维和逻辑推理能力、数值运算能力和空间想象能力，能运用所学知识进行推理和证明、准确而简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。主要包括：
（一）函数、极限与连续
1．知识范围
函数的概念和性质、数列极限和函数极限的定义和性质、夹逼定理及其应用、极限的计算、单调有界定理、海涅定理、两个重要极限、无穷小量与无穷大量的定义和性质以及它们的关系、无穷小量阶的比较、闭区间套定理、Weierstrass定理、Cauchy收敛原理、函数连续的概念、函数的间断点及其分类、连续函数局部性质、闭区间上连续函数的整体性质（介值定理，零点定理，最值定理，一致连续性定理）等，上述问题的内容、证明和应用。
2．考核目标
(1)正确理解和掌握函数的概念，熟练地求函数的定义域；理解和掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数概念；会用定义判断函数的类别。
（2)理解和掌握数列极限与函数极限的概念；会用定义证明极限中一些有关问题；熟练地应用极限的唯一性、有界(局部有界)性、保号(局部)性、保序(局部)性证明有关问题；会应用四则运算定理、两边夹定理、单调有界定理和两个重要极限熟练地求极限；理解无穷小与无穷大概念。
(3)理解和掌握函数连续的概念，函数一致连续的概念；掌握闭区间上连续函数的性质，能用这些性质证明有关问题；知道初等函数在其定义区间上连续。
（二）一元函数微分学
1．知识范围
导数的定义和几何意义、可导与连续的关系、求导的运算法则和计算、微分的定义及其与导数的关系、微分的计算和应用、高阶导数的概念及计算、导数的几何应用、费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式、罗必达法则、利用导数进行函数性态的讨论和描述。
2．考核目标
（1）掌握导数、微分的定义和几何意义，了解它们的差异；熟练地应用导数公式求函数的导数和高阶导数；熟练地计算函数的微分；
（2）掌握费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论和证明方法，会用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式；
（3）记住 的马克劳林公式，会用它们求一些简单函数的展开式；
（4） 能够熟练地应用罗必达法则求不定式的极限；
（5）能够熟练地进行函数性态的讨论，包括单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线及函数作图。
（三）一元函数积分学
1．知识范围
原函数与不定积分的概念与计算、定积分的概念与计算、可积的必要条件和几类可积函数、积分上限函数的性质和牛顿一莱布尼兹公式、定积分在几何上的应用、无穷区间上广义积分和无穷限广义积分敛散性判别。
2．考核目标
（1）掌握原函数与不定积分的概念，熟练地用换元法和分部积分法求不定积分。
（2）理解定积分概念和可积性证明，掌握定积分的性质和微积分基本定理，熟练地应用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分，会用定积分求平面区域的面积，平面曲线的弧长，旋转体的侧面积和体积。
（3）掌握无穷积分收敛与发散的概念，掌握无穷积分绝对敛与条件收敛的概念，会用收敛的定义和收敛性判别法判别一些无穷积分的散性。
（四）级数
1．知识范围
级数的部分和、敛散性、收敛的必要条件和柯西准则、正项级数的敛散性判别、任意项级数的绝对收敛和条件收敛概念、交错级数及其敛散的莱布尼兹判别法、函数项级数的一致收敛性以及和函数的分析性质、幂级数的收敛性和幂级数和函数的性质、函数的泰勒展开、Fourier级数的性质与展开。
2．考核目标
（1）掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的概念；级数 的敛散性，熟练地应用比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性；熟练地用莱布尼兹判别法、Abel、Dirichlet判别法判断常见的一般项级数的敛散性。
（2）掌握函数项级数的一致收敛性的定义、证明。
（3）会求幂级数的收敛半径、收敛域、和函数，记住五个常见函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数。
（4）了解Fourier级数的性质，能够对一些函数计算其Fourier级数展开式。
（五）多元函数微分学
1．知识范围
多元函数的概念，二元函数的重极限与累次极限及其关系，二元函数连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性，多元函数连续、偏导数、全微分的计算和相互关系，复合函数和隐函数的偏导数与二阶偏导数以及偏导数的应用。
2．考核目标
（1）理解二元函数重极限和累次极限的定义和相互关系，会求二元函数的重极限与累次极限；理解二元函数连续的定义与有界闭区域上连续函数的性质。
（2）掌握多元函数连续、偏导数、全微分的计算和相互关系；熟练地求偏导数、全微分和高阶偏导数，包括复合函数和隐函数的偏导数和二阶偏导数。
（3）掌握偏导数的应用，包括在几何上的应用、条件极值、无条件极值等。
（六）多元函数积分学
1．知识范围
二重积分的概念和计算、应用二重积分计算空间形体的体积和平面图形的面积、三重积分的概念和计算、第一、二型曲线积分的定义、性质和计算方法、格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件、第一、二型曲面积分的定义、性质和计算方法、Gauss公式和Stokes公式、含参量积分的定义与分析性质、含参量反常积分的一致收敛性的判别和分析性质。
2．考核目标
（1）理解二重积分的概念，熟练地计算二重积分；会用二重积分计算一些简单空间形体的体积和平面图形的面积；理解三重积分的概念，能够计算某些三重积分。
（2）熟练地计算第一、二型曲线积分；会用格林公式计算第二型曲线积分；知道曲线积分与路径无关的条件，会求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函数。
（3）能够计算第一、二型曲面积分；知道Gauss公式和Stokes公式的内容和应用。
（4）含参量积分的定义与分析性质；能够判断含参量反常积分的一致收敛性和讨论其分析性质。
（高等代数部分）
一、考试目的
全面考核普通高校专科（含高职）应届毕业生高等代数课程是否达到教学大纲所规定的目标（掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力）。
二、考试内容
考生应理解和掌握《高等代数》中的多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维和逻辑推理能力、数值运算能力和空间想象能力，能运用所学知识进行推理和证明、准确而简捷地计算。能综合运用中的基本高等代数中的理论、基本方法分析和解决实际问题。主要包括以下九个部分：
（一） 基本概念
1．知识范围
集合, 映射, 数学归纳法, 整数的整除性质, 数环和数域。
2．考核目标
（1）理解集合、集合的相等、子集、空集、交集、并集等概念及简单运算和性质。
（2）理解掌握映射、单射、满射、一一映射的概念和判法。
（3）掌握整数的一些整除性质，理解数环和数域的概念。
（二）多项式
1．知识范围
一元多项式的定义和运算,多项式的整除性,多项式的最大公因式,多项式的因式分解, 多项式的重因式, 多项式函数与多项式的根, 复数域和实数域上多项式的因式分解, 有理数域上多项式的可约性及有理根。
2．考核目标
（1）掌握数域上一元多项式的概念、运算、多项式的和与积的次数。
（2）理解并掌握多项式的整除概念和性质并能运用；掌握带余除法定理并能运用。
（3）正确理解和掌握两个多项式的最大公因式、互素等概念及性质并能应用，能熟练地运用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
（4）理解可约、不可约多项式的概念，掌握不可约多项式的性质并能运用，掌握因式分解唯一性定理的结论和标准分解式。
（5）理解多项式的重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法。
（6）理解并掌握多项式函数及多项式根的概念、余数定理、综合除法、根与一次因式的关系并能运用；了解数域P上多项式相等与多项式函数相等的一致性，多项式根的个数。
（7）掌握代数基本定理的结论、复数域和实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型，了解实系数多项式非实复根的性质。
（8）了解本原多项式的定义及性质；理解有理数域上多项式的因式分解问题可归结为整系数多项式的因式分解问题；熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；会用Eisenstein判别法，明确有理数域上有任意次的不可约多项式。
（三）行列式
1．知识范围
二阶和三阶行列式, 排列, n 阶行列式的定义和性质, 行列式依行依列展开, Cramer 规则。
2．考核目标
（1）掌握n级排列、反序数（逆序数）、奇、偶排列、对换等概念，会求排列的反序数并能判断其奇偶性，理解对换及其对排列的作用。
（2）掌握行列式的基本性质并能准确、熟练地运用；
（3）熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式及有关性质；熟悉 Vandermonde行列式及其计算方法。
（4）掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的常用方法，会用这些方法计算一些行列式。
（5）掌握克莱姆(Cramer)法则及应用。
（四）线性方程组
1．知识范围
线性方程组的消元法, 矩阵的秩, 线性方程组有解的判别法, 线性方程组的公式解
2．考核目标
（1）理解矩阵秩的定义，掌握矩阵的求法。
（2）理解并掌握线性方程组有解的判定定理及其应用，熟练运用矩阵的初等变换解一般线性方程组。
（3）理解并掌握含n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件。
（4）理解并掌握齐次线性方程组的基础解系概念、求法，掌握线性方程组的解的结构定理。
（五） 矩阵
1．知识范围
矩阵的运算, 可逆矩阵, 初等矩阵, 矩阵乘积的行列式与秩, 矩阵的分块。
2．考核目标
（1）熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及其运算律。
（2）理解掌握初等矩阵的概念，初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的理论依据。
（3）理解掌握可逆矩阵的定义、可逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，熟练掌握用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵的方法。
（4）掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
（六）向量空间
1．知识范围
向量空间的定义、例子及简单性质, 子空间, 向量组的线性相关性,基和维数, 子空间的直和, 坐标, 向量空间的同构, 齐次线性方程组的解空间, 非齐次线性方程组解的结构。
2．考核目标
（1）掌握向量空间（线性空间）的定义与简单性质；了解常用的向量空间，初步了解公理化的思想方法。
（2）理解和掌握向量空间的子空间、生成子空间以及子空间的交与和的概念，掌握子空间的判别方法。
（3）理解掌握向量空间中向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的概念和性质及其判定方法；理解替换定理，掌握向量组的极大无关组、向量组等价的概念及其性质。
（4）掌握n维向量空间的基、维数的概念以及常见向量空间的基和维数，掌握有限生成子空间的基和维数的求法以及维数公式。
（5）理解坐标的概念，过渡矩阵的概念及其性质，掌握基变换及坐标变换公式，会求过渡矩阵以及向量的坐标。
（6）正确理解子空间的直和概念；掌握子空间的和为直和的充要条件，了解一个n维线性空间可分解成两个子空间的直和。
（7）理解线性空间同构的定义、性质及其重要意义；掌握有限维线性空间同构的充要条件。
（七）线性变换
1．知识范围
线性变换的定义及其简单性质, 线性变换的象与核, 线性变换的运算,线性变换和矩阵,不变子空间, 特征根、特征向量、特征多项式，可以对角化的矩阵。
2．考核目标
（1）掌握线性变换的概念、运算及其简单性质，理解线性变换的象与核。
（2）理解线性变换在给定基下矩阵的概念、线性变换与矩阵的对应关系以及同一线性变换关于不同基的矩阵间的关系；掌握矩阵相似的概念和性质；掌握线性变换在给定基下的矩阵的求法以及向量在线性变换下的像的坐标公式。
（3）掌握不变子空间的定义和判法。
（4） 理解线性变换的本征值、本征向量，矩阵的特征根与特征向量的概念，熟练掌握线性变换与矩阵的特征值和特征向量的求法。
（5）明确属于不同特征值的特征向量的线性无关性；掌握线性变换和矩阵可对角化的条件以及可对角化时将其对角化的方法。
（八）欧氏空间
1．知识范围
欧氏空间的定义及基本性质, Cauchy—Schwarz 不等式, 向量的长度及两个向量的夹角, 正交基、标准正交基和正交化方法, 向量与子空间的正交，正交补向量到子空间的距离, 欧氏空间同构的定义和同构的充要条件, 正交变换与正交矩阵, 对称变换与实对称矩阵.
2．考核目标
（1）正确理解欧氏空间概念；掌握向量的内积、长度，两个向量的夹角、正交的概念和基本性质，掌握柯西-施瓦茨不等式。
（2）理解正交组、正交基、标准正交基的概念；掌握Schimidt正交化方法；理解子空间正交及正交补的概念以及n维欧氏空间的正交分解；了解由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，了解欧氏空间同构的定义及有限维欧氏空间同构的充要条件。
（3）理解和掌握正交变换的概念及性质；明确n维欧氏空间的正交变换与正交矩阵的关系，掌握线性变换是正交变换的充要条件。
（4）理解对称变换及其与实对称矩阵的关系；掌握实对称矩阵的基本性质以及求正交阵将实对称矩阵化为标准形的方法。
（九）二次型
1．知识范围
二次型的矩阵表示, 化二次型为平方和, 复数域和实数域上二次型的典范形式及其唯一性，惯性定律, 正定二次型的定义及实二次型正定的充要条件，二次型的主轴问题。
2．考核目标
（1）掌握二次型的概念，二次型与对称矩阵的一一对应关系及二次型的矩阵表示法，掌握二次型的等价的概念及性质，掌握矩阵的合同概念及其性质。
（2）能熟练地用“配方法”、“初等变换法”化二次型为标准型。
（3）明确复数域和实数域上二次型的规范形式的概念及唯一性；掌握实二次型、实对称矩阵的正、负惯性指数、符号差概念、惯性定理。
（4）理解二次型正定、是对称矩阵正定的概念及判法。
（5）二次型主轴问题及其应用。
